Tes IV Pelatnas I IMO 2016

1. Diberikan barisan bilangan real $\{a_n\}_{n \geq 1}$ yang memenuhi $$4a_{n+1}a_{n} + a_{n+1}+ 3a_{n} + 1= 0$$ dan $a_{n} \leq a_{2015}$ untuk setiap bilangan asli $n$. Tentukan semua nilai $a_{1}$ yang mungkin.

2. Tunjukan bahwa terdapat himpunan bagian $A$ dari $\{1, 2, 3, ... , 2014\}$ yang memiliki 12 unsur sedemikian hingga setiap pewarnaan bilangan bilangan di $A$ dengan merah atau putih selalu ditemukan beberapa bilangan sewarna di $A$ yang hasil penjumlahannya adalah $2015$.

3. Diketahui $a$ adalah akar positive dari $x^2 + x = 5$. Dimisalkan n bilangan asli dan $k_0, k_1, ... , k_n$ adalah bilangan bulat tak negatif yang memenuhi $$k_0 + k_1a +k_2a^2 + ... + k_na^n = 2015$$
(a) Buktikan bahwa $k_0 + k_1 + ... + k_n \equiv 2 (\text{mod} \ 3)$
(b) Tentukan nilai terkecil $k_0 + k_1 + ... + k_n$

4. Pada segitiga tak sama kaki $ABC$, titik $D$ dan $E$ berturut turut terletak pada garis $AB$ dan $AC$ sedemikian hingga lingkaran luar $ACD$ dan $ABE$ menyinggung garis $BC$. Misalkan $F$ adalah perpotongan dari $BC$ dan $DE$. Buktikan bahwa $AF$ tegak lurus dengan garis Euler dari segitiga $ABC$.

 Waktu : 4 Jam