1. Diberikan barisan bilangan real \{a_n\}_{n \geq 1} yang memenuhi 4a_{n+1}a_{n} + a_{n+1}+ 3a_{n} + 1= 0
dan a_{n} \leq a_{2015} untuk setiap bilangan asli n. Tentukan semua nilai a_{1} yang mungkin.
2. Tunjukan bahwa terdapat himpunan bagian A dari \{1, 2, 3, ... , 2014\} yang memiliki 12 unsur sedemikian hingga setiap pewarnaan bilangan bilangan di A dengan merah atau putih selalu ditemukan beberapa bilangan sewarna di A yang hasil penjumlahannya adalah 2015.
3. Diketahui a adalah akar positive dari x^2 + x = 5. Dimisalkan n bilangan asli dan k_0, k_1, ... , k_n adalah bilangan bulat tak negatif yang memenuhi k_0 + k_1a +k_2a^2 + ... + k_na^n = 2015
(a) Buktikan bahwa k_0 + k_1 + ... + k_n \equiv 2 (\text{mod} \ 3)
(b) Tentukan nilai terkecil k_0 + k_1 + ... + k_n
4. Pada segitiga tak sama kaki ABC, titik D dan E berturut turut terletak pada garis AB dan AC sedemikian hingga lingkaran luar ACD dan ABE menyinggung garis BC. Misalkan F adalah perpotongan dari BC dan DE. Buktikan bahwa AF tegak lurus dengan garis Euler dari segitiga ABC.
Waktu : 4 Jam
No comments:
Post a Comment