Tes 3 Pelatnas 1 IMO 2016

1. 7 orang akan bertanding, setiap dua orang bertanding tepat satu kali. Skor untuk menang, seri, dan kalah berturut - turut adalah 3, 1, dan 0. Dapatkah skor terakir berupa bilangan berurutan $a, a+1, ... , a+6$ ? Jika dapat tentukan semua nilai $a$ yang mungkin.

2. Buktikan bahwa ketaksamaan
$$\frac{x-y}{xy + 2y + 1} + \frac{y-z}{yz + 2z +1} + \frac{z-x}{zx + 2x + 1} \geq 0$$
berlaku untuk sebarang bilangan real tak negatif $x, y, z$

3. Diberikan segiempat talibusur $ABCD$, dimana $AD = BD$. Misalkan $M$ titik potong antara segmen $AC$ dengan segmen $BD$. Misalkan pula $I$ pusat lingkaran dalam segitiga $BCM$. Misalkan $N$ titik potong kedua kalinya antara $AC$ dengan lingkaran luar segitiga $BMI$. Buktikan bahwa $AN . NC = CD . BN$

4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(a,b)$ yang memenuhi persamaan $$a^3 + b^3 + 3ab = 1$$