Tes 2 Pelatnas 1 IMO 2016

1. Gambar dibawah menunjukan persegi panjang yang dibagi menjadi delapan petak ( persegi panjang yang lebih kecil ). Dua petak dikatakan berdampingan jika mempunyai lebih dari satu titik persekutuan. Semua bilangan $1,2,3,4,5,6,7,$ dan $8$ akan ditempatkan pada delapan petak tersebut, masing-masing petak berisi satu bilangan, sehingga tidak ada dua petak berdampingan yang berisi dua bilangan dengan selisih 4. Ada berapa cara penempatan tersebut ?

2. Pada segiempat talibusur $ABCD$, titik $F$ adalah perpotongan kedua diagonal. Misalkan $P,Q,$ dan $M$ berturut - turut adalah titik tengah $BF,CF,$ dan $BC$. Misalkan $E$ adalah perpotongan sinar $BA$ dan $CD$ serta $N$ adalah titik tengah $EF$. Buktikan bahwa segiempat $AEDF$ sebangun dengan segiempat $QNPM$.

3.Tentuka n semua fungsi $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ yang memenuhi
$$f(xf(y) + 4f(x)) = f(yf(x)) + x$$
untuk setiap $x,y \in \mathbb{R}$

4. Untuk sebarang bilangan asli $n$ definisikan $H_n$ adalah bilangan bulat terbesar yang membagi habis $a^n + (a+1)^n + (a+2)^n$ untuk setiap bilangan asli $a$.

(a). Tunjukan bahwa untuk semua bilangan asli $n$, bilangan $H_n$ berbentuk $3^k$ untuk suatu bilangan bulat $k \geq 0$
(b). Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat $k \geq 0$ terdapat bilangan asli $n$ yang memenuhi $H_n = 3^k$.