Tes 1 Pelatnas 1 IMO 2016

1. Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $$\frac{10^n}{n^3 + n ^2 + n + 1}$$ merupakan bilangan asli.

2. Diberikan jajargenjang $ABCD$ dengan $AB$ sebagai alasnya. Misalkan titik $S$ adalah titik potong antara kedua diagonalnya dan titik $I$ adalah pusat lingkaran dalam segitiga $ABD$, serta titik $T$ adalah titik singgung lingkaran dalam segitiga $ABD$ dengan diagonal $BD$. Buktikan $IS$ sejajar dengan $CT$.

3. Misalkan $x_1, x_2, ... , x_n$ bilangan real yang lebih dari atau sama dengan 1. Buktikan bahwa
$$( \frac{x_1}{x_1 + 1} + \frac{x_2}{x_2 + 1} + ... + \frac{x_n}{x_n + 1})(\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} + 1) \leq n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}$$

4. Suatu bahasa memiliki $n$ huruf. Suatu kata dalam bahasa ini dikatakan puitis jika untuk setiap dua huruf yang sama yang muncul dalam kata tersebut tidak terdapat dua huruf yang sama diantara keduanya.

(a). Tentukan panjang maksimal yang mungkin dimiliki kata puitis.
(b). Tentukan banyaknya kata puitis yang mungkin dengan panjang maksimal