Tes II Pelatnas tahap 1 IMO Indonesia 2015

1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ sehingga $$ab+a+b \ | \ a^2 + b^2 + 1$$

2. Tentukan bilangan asli terbesar $z$ sehingga $z$ terbagi habis oleh semua bilangan bulat yang tidak lebih besar dari $\sqrt[3]{z}$

3. Tentukan semua pasangan bilangan bulat $(a,b)$ yang memenuhi
$$\frac{a^2+1}{2b^2-3} = \frac{a-1}{2b-1}$$

4. Diketahui $a$ dan $b$ bilangan asli yang relatif prima. Diberikan $a_n$ dan $b_n$ berisan barisan bilangan asli yang memenuhi $$(a+b\sqrt{2})^{2n} = a_n + b_n\sqrt{2}$$
Tentukan semua bilangan prima $p$ sehingga dapat ditemukan bilangan asli $n \leq p$ yang memenuhi $b_n \equiv 0 (\text{mod} \ p)$


Waktu : 240 menit