Tes 1 Pelatnas Tahap 1 IMO 2015

1. Misalkan $H$ titik tinggi dari segitiga lancip $ABC$, dengan $AP$ dan $CQ$ berturut turut sebagai garis tinggi. Pada median $BM$ dipilih titik-titik $E$ dan $F$ sehingga: $\angle APE=\angle BAC , \angle CQF=\angle BCA$, dimana titik $E$ terletak di dalam segitiga $APB$, dan titik $F$ terletak di dalam segitiga $CQB$. Buktikan bahwa garis-garis $AE,CF,$ dan $BH$ berpotongan di satu titik.

2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan $AB\neq AC$; titik $D$ pertengahan sisi $BC$ dan $E$ titik kaki dari garis tinggi yang ditarik dari $D$ tegak lurus pada garis bagi sudut $BAC$, maka buktikan bahwa $P$ terletak pada lingkaran sembilan titik segitiga $ABC$

3. Dua lingkaran $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ berpotongan di $C$ dan $D$. Garis $l$ melalui $D$ memotong $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$ berturut turut di titik $A$ dan $B$. Titik-titik $P$ dan $Q$ berturut-turut terletak pada $\Gamma_1$ dan $\Gamma_2$. Garis $PD$ dan $AC$ berpotongan di $M$; garis $QD$ dan $BC$ berpotongan di $N$. Andaikan $O$ pusat lingkaran luar segitiga $ABC$, buktikan bahwa $OD$ tegak lurus $MN$ jika dan hanya jika $P,Q,M,$ dan $N$ terletak dalam satu lingkaran.

4. Suatu garis $g$ memotong garis $BC,CA$dan $AB$ berturut-turut di $A_1,B_1$ dan $C_1$. Suatu garis $h$, dengan $h\neq g$, memotong garis $BC,CA$ dan $AB$ berturut-turut di $A_2,B_2$ dan $C_2$. Berikutnya misalkan $A_3,B_3$dan $C_3$ berturut-turut adalah perpotongan $BC$ dengan $B_1C_2$, $CA$ dengan $C_1A_2$ dan $AB$ dengan $A_1B_2$. Haruskah $A_3,B_3$ dan $C_3$ segaris ?

Waktu : 240 menit